无向图网络流

建图时直接把反向边的出事容量设为与正向边相同即可。

最大权闭合子图

选出一个点集，使得它们的后继节点都在这个点集中，使这个点集尽可能地大。

解法：

源点向点权>=0的点连边，容量=点权。

源点向点权<0的点连边，容量=abs(点权)。

点权>=0的点向点权<=0的点连边，容量=inf。

ans=正点权之和-最小割。

思维过程：

先把所有点权>=0的点取上，去从中删除一些不优的。

一个点权>=0的点如果要取，那么必然所有和他相连的点权<=0的点都必须取。

把这个强制要取的过程转化成在网络图上强制他们不连通，必须要把<=0的点给割掉，割掉的代价就是这个负点权。

如果这个点权>=0的点不取，那么就在网络图上体现为把它割掉，不去影响与它相连的负点权的取舍，割掉后总收益减少量就是它的点权。

综上，由于我们显然要最小化这个减去的代价，所以可以用最小割来求解。

最小路径覆盖

做法：

首先将每个节点拆成(Xi,Yi)两个节点，建立源点和汇点，分别连接(S,Xi)和(Yi,T)。

然后对于每一条原图中的边，建立边(Xi,Yi)即可。

ans=总点数-最大流

思维过程：

我们首先将原图用n条路径覆盖，每条边只经过每个节点。

现在尽量合并更多的路径(即将两个路径通过一条边首尾相连)。

可以知道，每合并两条路径，图中的路径覆盖数就会减少1。

所以我们只需要利用网络流合并相关的路径即可。